TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI LOGIKA

A.   TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

     (1)   A → B                         (Premis)

     (2)   C → B                         (premis)
     (3) (A V C) → B              (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B        

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

     1.      (p ʌ  ~q)  p

    Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

    2.      [(p  q) ʌ p] p  q

  Pembahasan:

p	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                   (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

   a.     (p ʌ q)  q

   Penyelesaian:

  (p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q

                         ~p v ~q v q

             ~p v T

             T .............(Tautologi)[3]

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

    b.     q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

                         ~q v (q v p)

                         T v p

                         T ............(Tautologi)

     B.   KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4]

Contoh dari Kontradiksi:

             1.      (A ʌ ~A)

            Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

              2.      P ʌ (~p ʌ q)

    Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

    C.   Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum - Hukum Ekuivalensi Logika:

    1.      Hukum komutatif:

    p ʌ q  q ʌ p

    p v q q v p

    2.      Hukum asosiatif:

   (p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

   (p v q) v r  p v (q v r)

    3.      Hukum distributif:

    p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

    p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

    4.      Hukum identitas:

     p ʌ T  p

     p v F  p

    5.      Hukum ikatan (dominasi):

     P v T  T

     P v F  F

    6.      Hukum negasi:

    P v ~p  T

    P ʌ ~p  F

    7.      Hukum negasi ganda (involusi):

   ~(~p)  p

    8.      Hukum idempoten:

   P ʌ p  p

   p v p  p

    9 .      Hukum de morgan:

     ~( p ʌ q)  ~p v ~q

     ~(p v q)  ~p ʌ ~q

   10.   Hukum penyerapan (absorpsi):

    p v (P ʌ q)  p

   P ʌ (p v q)  p

   11.  Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

    12.  Hukum implikasi ke and/or:

    P  q  ~p v q

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1.      Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)

                                     ~p ʌ (q v ~q)

                                     ~p ʌ T

                                     ~p ...........(terbukti)

2.      Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ʌ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

(1)                    (2)             (3)           (4)             (5)                   (6)                        (7)  

Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

Jadi, ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

---

[1] A. Limbong dan A. Prijono, Matematika Diskrit (Bandung: CV Utomo, 2006), h. 13.

[2] F. Soesianto dan Djoni Dwijono, Logika Proposisional (yogyakarta: andi, 2003), h. 50-51.

[3] A. Limbong dan A. Prijono. Op.cit. 13.

[4] Rinaldi Munir, Matematika Diskrit (Bandung: Informatika, 2005), h. 7.

[5] A. Limbong dan A. Prijono. Op.cit. 9-10.

Sumber Blog :
 http://dedekyohana93.blogspot.co.id/2012/11/tautologi-kontradiksi-dan-ekuivalensi_4667.html